我们常常认为，必须是天才才能做出重大的数学发现。确实，天才在其中扮演着一定角色。但是，数学发现的过程实际上是有规律的？你很可能在学习数学时亲身经历过这一规律。这个规律是由一位名叫雅克·哈达玛的数学家发现的，他在他的论文《数学领域的发明心理学》中写到这一点。那么，如何研究数学发现过程在人脑中的运作呢？
20世纪初，一位颇有名气的数学家爱迪蒙·西奥多·梅（Edimon Teodor May）向他的数学家同仁们发送了一份问卷，询问他们是如何进行发现的。问卷中包含了这样的问题：“数学解答是否曾出现在你的梦中？你会停止解决问题然后再回来吗？你的发现是如何发生的？”这是一项有趣的研究，后来两位心理学家也对数学家进行了调查，发放了包含30个问题的问卷。
我个人非常好奇这些问题的答案。问卷的问题大致如下：你更关心数学科学本身，还是它在自然现象中的应用？你认为运气或灵感在数学发现中的作用有多大？在开始一项研究工作之前，你是否首先尝试吸收关于该主题的已有文献？他们甚至涉及到一些细节，比如你应该睡多少小时，吃多少餐，你是否进行运动，每天学习多少小时。听起来是不是很有趣的研究呢？
但有一个问题。甚至哈达玛在他的文章中也提到过。几乎没有哪位著名的数学家回复这项研究。回复的几乎全是那些完全不为人知的数学家。所以回复的基本都是那些在数学领域没有重大发现的人。只有少数几份回答来自于像莱昂纳德·尤金·迪克森（Leonard Eugene Dixon）和更著名的路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）这样的数学家。但其他一些著名的名字似乎并不愿意回复。
因此，哈达玛认为我们需要一个更好的案例研究来得出结论。需要向那些做出伟大数学发现的人学习。哈达玛在准备这篇文章时，实际上自己也发出了一些问卷，其中一份问卷被发送给了阿尔伯特·爱因斯坦，而爱因斯坦确实有回应。我们稍后会看到他是如何回答的。
但首先，我们来看看数学领域的另一位伟大人物——亨利·庞加莱。庞加莱留下了一个非常罕见的东西——他详细描述了自己是如何进行一次数学发现的。庞加莱告诉我们，在两周的时间里，他一直在努力证明某种数学函数不可能存在，基本上是证明这种数学结构是不可能的。每天，他都会坐在桌前，尝试求解，但似乎什么都行不通。
然后有一天，深夜时分，他喝了一些黑咖啡，他说这对他来说很不寻常，显然他没法入睡。他不断地在脑海中浮现出一些想法，直到最终其中几个逐渐形成了一个稳定的组合。到早晨时，他终于意识到，尽管他一开始在尝试证明这种函数是不可能的，但实际上有一种特定类型的这些函数是存在的。他花了几个小时检查自己的结果，结果他确实得出了一个由超几何级数推导出的福克斯函数类。
但这还不是那种突然顿悟的时刻。
在意识到这些函数的存在后，他想要明确构造这些函数，并决定将它们表示为两个级数的商，这一灵感来源于椭圆函数，椭圆函数可以用类似的方式通过θ函数来表示。因此，他的推理大致如下：
首先，椭圆函数可以通过θ级数来表示。
第二，也许这些新函数也可以用类似的构造方法表示。
第三，如果这样的级数存在，它们需要具备什么样的性质？
第四，一旦他确定了这些性质，他就明确构造了这些级数。这些级数被他称为θ福克斯级数（Theta-Fuchsian series）。
如果你不完全理解故事中的某些技术细节，不用太担心。这些并不是重点。重点在于他的思维方式。
接着，他不得不休息一下，因为他需要参加一个地质学会议。他说，在那次旅行期间，他几乎忘记了自己的数学工作。旅行中的一天，他在休息时乘坐了一辆马车。当他刚踏上车厢的一步时，突然一个念头跳进了他的脑海。他立即意识到，他一直用来定义这些新函数的变换，实际上和非欧几里得几何中的变换是一样的。尽管他之前从未考虑过这个问题，也没有类似的想法，但他并没有停下来细化自己的想法，而是继续和旁边的人聊着天。但他确信自己是对的。
然后，当他有时间时，他检查了自己的想法，结果证实了自己的直觉，的确是正确的。
但这还不是全部。当他从会议回来后，他开始研究一个看似不相关的算术问题，原本以为它可能与他的新发现有关，但却发现它与他的想法完全没有连接。他感到沮丧，于是去了一个海边城市待了几天，在那里他思考了一些完全不相关的事情。
有一天，当他在悬崖上散步时，解决方案突然在他脑海中浮现。算术问题与他之前的发现的确是有联系的。他意识到，这两件看似完全不同的事情，实际上是由同一组变换所控制的。
首先，是无定形三元二次型的算术变换。这些是像这样的一种表达式，
其中的系数使得形式既可以取正值也可以取负值。所以它是无定形的，并且变量是三个，这也是为什么它被称为三元的。
其次，是非欧几里得几何中的变换。这些变换可以在双曲几何中移动点，同时保持距离不变。
庞加莱意识到，这些变换实际上出现在这两者之中。他回到家后，验证了自己的结果，并继续思考这件事。不必太在意数学的细节，重点是看清楚其中的思维模式。
现在开始看到哈达玛所说的模式了。虽然这些数学思想并不是立刻出现的，而是在他没有意识地思考问题时，突然出现在他的潜意识里，像偶然一样涌现出来。庞加莱给出了其他的例子，比如在他服役时，他停止了对问题的思考，结果突然间解答就来了。这是一个不断重复的模式。
[666]但是，哈达玛想要我们注意的一点是，这并不是说庞加莱仅仅是一个天才，解答就这样从天而降。哈达玛指出，我们必须回到庞加莱那两周的工作，以及那个无法入睡的黑夜，当庞加莱喝了黑咖啡后，那些思绪才开始潜入他的潜意识中。哈达玛认为，这种模式实际上是相当常见的。[666]
他举了高斯的例子。高斯曾经多年未能成功证明一个算术定理，他写道：“就像一道闪电，谜题突然就被解决了。我自己也不能说，是什么样的引导线将我之前知道的东西和最终使我成功的部分连接了起来。它是一种突然的启示。”
他还举了德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹和法国物理学家保罗·朗伽万的类似例子。哈达玛不仅提到数学家和物理学家，还谈到了化学家、心理学家，甚至是莫扎特。
老实说，即使是我，有时也会经历这样的时刻。我并不是说我为人类知识做出了伟大的贡献，但我想说的是，有时我会遇到一个问题，怎么也解不开。也许你也有类似的经历，然后我就放下了它，去睡觉，结果在梦里得到了答案或部分答案，然后我再试着自己解决，结果发现是对的。有时是错的。
哈达玛总结了这个模式。我们还能从这些伟大的思想家那里学到其他的东西。潜意识究竟是如何运作的？它是如何产生这些解答的？其实，这并不是一种神奇的事情，你不能单纯依赖潜意识去解决问题。那么它是怎么做到的呢？
哈达玛认为，在任何领域，潜意识所做的事情就是筛选出大量的想法，然后将它们组合起来。绝大多数想法最终是无用的。但问题是，究竟哪一个想法会被我们的意识所注意到呢？哈达玛认为，我们的意识只会看到那些有用的，或者至少看起来有前景的组合。但为了找到这些好的想法，我们的大脑必须生成大量可能的组合。
那么，大脑什么时候做这些呢？它在我们没有刻意思考这些问题的时候进行这些操作。哈达玛说，你甚至不会知道所有那些无用的组合，因为它们是在潜意识中产生的。只有当其中一个组合变得有趣时，它才会突然出现在我们的意识中，这就是我们经历启示的时刻。
哈达玛接着讨论了这种思维活动发生在我们的大脑哪个部分，它是如何受到我们审美感知的引导，有些是由运气推动的，还有不同类型的数学思维。这里的主要结论是，产生伟大想法的过程往往是有规律的。发明新想法就是从广阔的可能性空间中选择有用的组合，而哈达玛用五个词来简洁地概括这个过程：“发明就是选择。”
正如我们之前提到的，哈达玛向许多科学家发出了问卷。但他个人最喜欢的回答来自阿尔伯特·爱因斯坦。哈达玛基本上是问他，解决问题时，他内部的世界是怎样运作的？爱因斯坦用五个要点回答了这个问题，所有这些都很简短，也非常有趣。
他说，书面或口头的语言在他的思维机制中似乎没有任何作用，而是通过图像来运作，并将这些图像进行组合。通过与这些图像玩耍，他寻找有趣的组合和逻辑联系。
你有没有经历过这些顿悟的时刻？